1975 年，数学家 Benoît Mandelbrot 创造了 fractal 一词，源自拉丁语 frāctus（破碎的）。分形是在任意小的尺度上都包含精细结构的几何形状，其分形维度通常严格超过拓扑维度。
部分与整体形状相同。Koch 雪花的每段边放大 3 倍，形状完全不变——这种跨尺度的不变性是分形的核心标志。
分形维度不是整数。Sierpinski 三角形的维度 ≈ 1.585——比线条复杂，却无法填满平面。维度公式：D = log(N)/log(S)
极其简单的规则，经过无数次重复，便能涌现出令人震撼的复杂结构。z = z² + c 这六个字符，就能创造 Mandelbrot 集的无限深渊。
对复平面上每个点 c，从 z₀=0 迭代 z = z² + c。不发散的点集合，就是 Mandelbrot 集。
配色
固定 c，对每个初始 z₀ 迭代。在画布上移动鼠标实时改变 c，观看 Julia 集的连续变形。
拖动滑块，亲眼见证简单规则如何在迭代中产生无限复杂。
D = log3/log2 ≈ 1.585
每次迭代移除中心倒三角形。无限迭代后面积趋向零，但边界的"灰尘"保持 1.585 维——介于线 (1D) 和面 (2D) 之间。
D = log4/log3 ≈ 1.262
将每段边的中间 1/3 替换为向外的等边三角形。周长每次乘以 4/3，趋向无穷——但面积始终有限。一条无限长的线围住了有限的面积。
调整分支角度和衰减比，创造你自己的分形植物。
用概率选择的仿射变换，让一个点在平面上跳跃——跳跃的轨迹涌现出分形。
4 个仿射变换 · 概率驱动
点数: 0
Michael Barnsley 用四个简单的线性变换（旋转 + 缩放 + 平移），按特定概率随机选择，从一个点生成了与真实蕨类植物惊人相似的图案。每片叶子都是整株的缩影。
随机跳跃 → Sierpinski 涌现
点数: 0
规则极其简单：从任意点出发，随机选择三角形的一个顶点，跳到当前位置与该顶点的中点。重复成千上万次——Sierpinski 三角形自动涌现！这就是确定性混沌：随机过程中隐藏着秩序。
分形不是纯数学抽象——大自然用分形结构解决"如何用有限体积创造最大表面积"的工程问题。
尺子越短，测出的海岸线越长。英国海岸线的分形维度约 1.25，意味着它比线复杂，却不够铺满平面。
支气管分叉 23 次产生约 3 亿个肺泡，气体交换面积达 70m²——接近一个网球场。分形是自然界的"表面积最大化引擎"。
Romanesco broccoli 的每个花蕾由更小的同形花蕾组成，排列遵循斐波那契螺旋——自相似在你手中就能触摸。
电流寻找最小电阻路径时自然形成分支状分形——与河流三角洲和血管网络的形成机制惊人相似。
Mandelbrot 发现股价波动在分钟、天、月尺度呈现统计自相似性，打破了传统"正态分布"假设，催生了分形金融学。
每片叶子是整株的缩影，每片小叶又是叶子的缩影——Barnsley 用 4 个仿射变换就模拟了这四层嵌套自相似。
| 名称 | 维度 | 公式 |
|---|---|---|
| Cantor 集 | 0.631 | log2/log3 |
| Koch 雪花 | 1.262 | log4/log3 |
| Sierpinski 三角形 | 1.585 | log3/log2 |
| Mandelbrot 边界 | 2.000 | 已证明 |
| Menger 海绵 | 2.727 | log20/log3 |
| 英国海岸线 | ~1.25 | 实测估计 |